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1. 판 이론의 가정 (Reissner-Mindlin)
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① 변형 전 중립면에 수직인 직선은 변형 후에도 직선을 유지한다.
(다만 중립면에 수직일 필요는 없다 → 전단변형 허용)
② 판 두께는 변하지 않는다 (εz = 0).
③ 두께방향 수직응력 σz 는 무시한다 (평면응력).
변위장 : u(x,y,z) = z·θy(x,y)
v(x,y,z) = −z·θx(x,y)
w(x,y,z) = w(x,y)
절점 자유도는 3 개 — [ w , θx , θy ] (면내 자유도는 없다)
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2. 변형률 — 곡률과 전단변형률
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곡률 (bending)
κx = ∂θy/∂x
κy = −∂θx/∂y
κxy = −∂θx/∂x + ∂θy/∂y
횡전단 변형률 (transverse shear)
γxz = ∂w/∂x + θy
γyz = ∂w/∂y − θx
※ 얇은 판(Kirchhoff)이면 γ = 0 이라 θy = −∂w/∂x 로 묶이지만,
Mindlin 판에서는 w 와 θ 가 서로 독립인 미지수다.
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3. 구성행렬 (Constitutive matrix)
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Ec·t³ ⎡ 1 ν 0 ⎤
Db = ─────────── , Db·⎢ ν 1 0 ⎥ (휨)
12(1 − ν²) ⎣ 0 0 (1−ν)/2⎦
Ds = k·G·t · I₂ , k = 5/6 (전단보정계수), G = Ec / 2(1+ν)
{ Mxx Myy Mxy }ᵀ = Db_mat · { κx κy κxy }ᵀ
{ Vxz Vyz }ᵀ = Ds_mat · { γxz γyz }ᵀ
[ 이 모델의 값 ]
Ec = 25,811 MPa, ν = 0.2, t = 150 mm
G = Ec/2(1+ν) = 10,755 MPa
Db = Ec·t³/(12(1−ν²)) = 7,561,818,241 N·mm²/mm = 7,562 kN·m²/m
Ds = (5/6)·G·t = 1,344,323 N/mm = 1,344.3 kN/m
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4. 형상함수와 좌표변환
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4절점 등매개 요소 — 자연좌표 (r, s) ∈ [−1, 1]
N₁ = ¼(1−r)(1−s) N₂ = ¼(1+r)(1−s)
N₃ = ¼(1+r)(1+s) N₄ = ¼(1−r)(1+s)
물리좌표 x = ΣNᵢxᵢ, y = ΣNᵢyᵢ 이므로 야코비안은
J = ⎡ ∂x/∂r ∂y/∂r ⎤ , ⎡∂/∂x⎤ = J⁻¹ ⎡∂/∂r⎤
⎣ ∂x/∂s ∂y/∂s ⎦ ⎣∂/∂y⎦ ⎣∂/∂s⎦
[ 이 모델의 값 ] 직사각 요소이므로 J 가 상수다
요소 크기 250.0 × 250.0 mm
J = ⎡ 125.00 0.00⎤ , det J = 15,625.00 mm²
⎣ 0.00 125.00⎦
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5. 휨 강성 — 표준 변위법
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절점 자유도 uᵉ = [ w₁ θx₁ θy₁ … w₄ θx₄ θy₄ ]ᵀ (12×1) 에 대해
κ = Bb · uᵉ (Bb : 3×12)
2절의 곡률식을 형상함수로 옮기면 각 절점 i 의 열은
Bb[0, 3i+2] = ∂Nᵢ/∂x (κx ← θy)
Bb[1, 3i+1] = −∂Nᵢ/∂y (κy ← θx)
Bb[2, 3i+1] = −∂Nᵢ/∂x , Bb[2, 3i+2] = ∂Nᵢ/∂y
Kb = ∫∫ Bbᵀ · Db_mat · Bb · detJ dr ds (2×2 Gauss)
Gauss 점 : r, s = ±1/√3 = ±0.5773502692, 가중치 1.0
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6. 전단 강성 — MITC 혼합보간
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전단변형률을 변위장에서 그대로 미분하면(표준 변위법) 얇은 판에서
잠김이 생긴다. MITC4 는 전단변형률을 [네 변의 중점 = tying point]
에서만 계산한 뒤, 그 값을 요소 안으로 다시 보간한다.
tying point : A(0,−1) B(+1,0) C(0,+1) D(−1,0)
s
↑
4 ──── C ──── 3
│ │
D · B → r
│ │
1 ──── A ──── 2
자연좌표 전단변형률을 tying point 값으로 선형보간한다.
γrz(r,s) = ½(1−s)·γrz|A + ½(1+s)·γrz|C
γsz(r,s) = ½(1−r)·γsz|D + ½(1+r)·γsz|B
각 tying point 에서 자연좌표 전단변형률은
γrz = ∂w/∂r + θy·(∂x/∂r) − θx·(∂y/∂r)
γsz = ∂w/∂s + θy·(∂x/∂s) − θx·(∂y/∂s)
이고, 물리좌표로 되돌릴 때 J⁻¹ 을 곱한다.
{ γxz γyz }ᵀ = J⁻¹ · { γrz γsz }ᵀ = Bs · uᵉ
Ks = ∫∫ Bsᵀ · Ds_mat · Bs · detJ dr ds (2×2 Gauss)
Kᵉ = Kb + Ks (12 × 12)
※ γrz 가 s 에만, γsz 가 r 에만 선형으로 변하도록 차수를 낮춘 것이
잠김을 없애는 핵심이다. 그러면서도 강체운동에서 변형률이 정확히
0 이 되므로 가짜 강체모드가 생기지 않는다.
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7. 테두리보 — Timoshenko 보요소 (같은 자유도 위에 얹는다)
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보를 판과 따로 풀지 않고, 판의 절점 자유도 [w, θx, θy] 를 그대로 쓴다.
x 축 방향 보 : 휨회전 = θy, 비틀림 = θx
y 축 방향 보 : 휨회전 = θx, 비틀림 = θy (곡률 부호가 반대)
휨 : κ = (θ₂ − θ₁)/L → EI/L · [[1,−1],[−1,1]]
전단 : γ = (w₂ − w₁)/L ± (θ₁+θ₂)/2 → G·As·L · (b ⊗ b)
비틀림: φ = (θt₂ − θt₁)/L → GJ/L · [[1,−1],[−1,1]]
전단항은 1점(감차)적분으로 적분해 보의 전단잠김도 함께 막는다.
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8. 조립 · 하중 · 경계조건 · 풀이
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① 조립 K = Σ Kᵉ (절점 n → 자유도 3n, 3n+1, 3n+2)
② 하중 등분포 w : 요소 면적을 4 절점에 균등 배분 (w·Ae/4)
집중하중 P : 형상함수로 배분 Fᵢ = P·Nᵢ(r,s)
선하중·면하중 : 세분해 위 두 방법으로 환산
③ 경계조건
단순지지 w = 0
고정지지 w = 0 및 지지선 축 둘레 회전 = 0
연속단 회전만 구속 (연직은 테두리보가 받는다)
자유단 구속 없음
④ 풀이 구속 자유도를 뺀 뒤 K_ff · u_f = F_f 를 푼다.
(scipy 가 있으면 희소행렬 spsolve, 없으면 조밀행렬)
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9. 단면력 회복과 부호 규약
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요소 중앙(r = s = 0)에서 uᵉ 를 되돌려 단면력을 구한다.
{ Mxx Myy Mxy }ᵀ = Db_mat · Bb(0,0) · uᵉ
{ Vx Vy }ᵀ = Ds_mat · Bs(0,0) · uᵉ
단위 : M 은 N·mm/mm (= 단위폭당 N·mm), V 는 N/mm
→ kN·m/m 은 ×1e−3, kN/m 은 수치가 그대로다.
부호 : z 축을 위로 잡았으므로 위 식의 Mxx 는 처짐모멘트일 때 (−) 가
된다. 설계에서는 처짐모멘트(하부인장)를 (+) 로 쓰므로
보고 단계에서 부호를 뒤집는다.
절점평균 : 요소값을 그 절점에 붙은 요소 개수로 평균해 매끄러운 등고선을
만든다. 설계값은 평균 전 요소값을 쓴다 (첨두를 깎지 않으려고).
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10. 설계 단면력 뽑기 — 위험단면 외삽
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요소중앙은 지지선에서 (요소크기/2) 안쪽에 있다. 지지선 위의 부모멘트를
얻으려면 변에 붙은 두 줄의 요소값을 지지선까지 늘려야 한다(외삽).
M(off) = M₁ + (off − c₁)/(c₂ − c₁) · (M₂ − M₁)
등간격이면 M(0) = 1.5·M₁ − 0.5·M₂
c₁, c₂ : 변에서 첫째·둘째 요소중앙까지 거리
off : 위험단면 위치 (0 = 지지선 중심, b/2 = 받침부 면)
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참고문헌
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· Dvorkin, E.N. & Bathe, K.J. (1984), "A continuum mechanics based
four-node shell element for general nonlinear analysis",
Engineering Computations, 1(1), 77-88.
· Bathe, K.J., Finite Element Procedures, Prentice-Hall.
· Timoshenko, S. & Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells.
· Hughes, T.J.R., The Finite Element Method.